확률은 약분이 되기 때문에 경우의 수와 달리 같은 것으로 풀어도 다른 것으로 보고 풀어도 답은 같게 나옵니다!
예를 들어 AAB 라는 문자를 A끼리 이웃하도록 배열하는 확률을 구하여라 라는 문제가 있다면 AA를 같은 것으로 보고 풀면 분모는 전체 경우 3!/2! 분자는 A끼리 이웃하도록 배열하는 경우 2! 따라서 답은 2/3
AA를 다른 것으로 보고 풀면 분모는 3! 분자는 2!곱하기2! 따라서 답은 2/3 이런식으로요!
본론으로 넘어가서 468번 문제도 위와 같이 숫자 1,2,3이 적힌 카드 3장씩 있는 것을 다 다르게 보고 풀어도, 다 같은 것으로 보고 풀어도 답은 같게 나와야 할텐데요!
우선 같은 것으로 보았을 때의 확률을 구해보겠습니다!
우선 분모는 전체 경우의 수니까 3^3=27입니다.
그리고 분자는 3자리 자연수가 3의 배수여야 하니까요! abc라는 3자리 자연수가 있다고 친다면
a+b+c=3,6,9 이렇게 되는 경우를 찾아주면 됩니다!
a+b+c=3 인 경우는 모두 1,1,1 카드가 나와야 하니까 1가지
a+b+c=6 인 경우는 모두 2,2,2 카드가 나오거나 3,2,1 각각 하나씩 나와야 하니까 1 + 3!= 7가지
a+b+c=9 인 경우는 모두 3,3,3 카드가 나와야 하니까 1가지
총 9가지 따라서 답이 9/27=1/3입니다.
그렇다면 다른 것으로 보았을 때 확률도 구해봐야겠죠?
분모는 전체 경우의 수인데요! 위에서와 달리 같은 숫자가 적힌 카드 각가 3개씩도 다르게 봐야하니까
9P3(서로 다른 9개 중에 3개를 뽑아서 일렬로 나열!)
분자는 똑같이 a+b+c=3,6,9 인 경우
a+b+c=3 인 경우는 모두 1,1,1 카드이지만 다 다르게 보는 경우기 때문에 3!= 6가지
a+b+c=6 인 경우는 모두 2,2,2 카드가 나오거나 3,2,1 카드가 하나씩 나오는 경우의 수인데
2,2,2가 나오는 경우의 수는 위와 마찬가지로 3!= 6가지, 3,2,1 카드가 하나씩 나오는 경우의 수는
3C1 곱하기 3C1 곱하기 3C1 곱하기 3!(각각 1,2,3이 적힌 카드 3개 중에 하나씩 고르고 나열하는 경우의 수)= 27곱하기3!가지
a+b+c=9인 경우는 모두 3,3,3 카드가 나오는 경우니까 똑같이 3!= 6가지
따라서 3!+3!+3!+27곱하기3!/9P3 하면 3!곱하기30/9곱하기8곱하기7=5/14가 나옵니다..
이렇게 답이 다르게 나오는데요... 제가 볼 때는 같은 것으로 보는 경우는 뭔가.. 깔끔하게 풀려서 맞을 것 같은데.. 다른 것으로 보는 경우에서의 확률이 틀렸을 것 같은데요.. 어디가 틀렸는지 어느 발상에서 제가 생각을 잘못했는지를 3일동안 고민했는데도.. 잘 모르겠더라구요.. 어디가 잘못된 걸까요..?